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假设我们有一个实数a，它具有无限精度。现在，我们在C/C中有浮动类型double或flot，并希望使用这些类型表示a。假设“a_f”是a的变量名称。
我已经理解了这些值是如何表示的，它由以下三部分组成：符号、分数和指数。根据使用的类型，分配给分数和指数的位数不同，这决定了“精度”。
在这个意义上，精度是如何定义的？
这是a和之间绝对差异的上界a_f（|a-a_f|），还是别的什么？
在double的情况下，为什么“精度”以2^{-54}为界？？
谢谢你。
浮点类型的精度通常定义为尾数中的位数，可以使用std::numeric_limits
尾数中的位数根据基数定义，使用std::numeric_limits
浮点类型的位数和基数都是实现定义的。我不知道任何实际实现支持2以外的浮点基数（但C标准不需要）。
如果基数是2std::numeric_limits
当将实值a存储在浮点变量中时，存储的实际变量（您所描述的a_f）是可以表示的最接近的近似值（假设不发生溢出等影响）。两者之间的差异（或差异的大小）不仅取决于尾数——它还取决于浮点指数——因此没有固定的上限。
实际上（用非常不准确的术语），一个值和它的浮点近似之间可能的差异与值的大小有关。浮点变量不代表最小和最大可表示值之间的一组均匀分布的值——这是使用尾数和指数表示的权衡，这是能够表示比相同大小的整数类型更大范围的值所必需的。
浮点数的问题是，它们越大或越小，就会变得越innacurate。例如：
double x1 = 10;
double x2 = 20;
std::cout << std::boolalpha << (x1 == x2);
正如预期的那样，打印false。
但是，以下代码：
// the greatest number representable as double. #include <limits>
double x1 = std::numeric_limits<double>::max();
double x2 = x1 - 10;
std::cout << std::boolalpha << (x1 == x2);
出乎意料地打印出true，因为数字太大以至于您无法真正表示x1-10。它被四舍五入为x1。
然后人们可能会问界限在哪里以及什么是界限。当我们看到不一致时，我们显然需要一些工具来检查它们。
std::之后的下一个：
std::nextAfter需要两个flot或doubles。第一个参数是我们的起点，第二个参数代表我们想要计算下一个可表示值的方向。例如，我们可以看到：
double x1 = 10;
double x2 = std::nextafter(x1, std::numeric_limits<double>::max());
std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<double>::digits) << x2;
x2略多于10。另一方面：
double x1 = std::numeric_limits<double>::max();
double x2 = std::nextafter(x1, std::numeric_limits<double>::lowest());
std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<double>::digits)
<< x1 << '\n' << x2;
我机器上的输出：
1.79769313486231570814527423731704356798070567525845e+308
1.7976931348623155085612432838450624023434343715745934e+308
^ difference
这只是小数点后第16位。考虑到这个数字乘以10308，您可以看到为什么除以10绝对没有改变。
很难谈论具体的值。人们可能会估计double的精度为15位（点之前和之后的组合），这是一个不错的估计，但是，如果您想确定，请使用为该特定任务设计的方便工具。
例如，数字123456789可以表示为.12*10^9，也可以表示为.12345*10^9或.1234567*10^9。这些都不是精确的表示，有些比其他更好。你选择哪一个取决于你有多少位作为分数。更多的位意味着更高的精度。用于表示分数的位数称为“精度”。
